Александр Афанасьевич Мельников родился 25 мая 1906 года. В 1925-1927 годах он учился в киномастерской ФЭКС, в 1927-1929 годах - в Ленинградском техникуме сценических искусств, на курсе Ф.М.Эрмлера. В кино актер снимался с 1927 года, и хотя сыграл он не так уж много ролей, его мастерство высоко оценивали многие известные режиссеры, в том числе Всеволод Пудовкин и Леонид Трауберг. Среди ролей Александра Мельникова в 1920-1930-е годы - секретарь комсомольской ячейки ("Ветер в лицо", 1929), пастух ("Полдень", 1930), священник ("Чудо", 1933), Сашко ("Частный случай", 1933), водитель такси ("Горячие денечки", 1934), матрос Куприянов ("Депутат Балтики"), Родион Жуков ("Белеет парсу одинокий", 1937). Лучшей его ролью стал красноармеец Васька в картине "Моя Родина". Когда началась Великая Отечественная война, Александр Мельников ушел добровольцем на фронт. После окончания войны он до 1947 года был актером Смоленского областного театра, затем работал ассистентом режиссера на киностудии "Леннаучфильм", а в 1949-1953 годах служил в железнодорожных войсках. С 1953 года Александр Мельников работал ассистентом режиссера и вторым режиссером на киностудии "Ленфильм", работал на фильмах "Кортик", "На переломе", "Девочка, с которой я дружил", "Родная кровь", "Армия Трясогузки", "Каин XVIII". Тем не менее, в 1960-х годах он сыграл несколько эпизодических ролей, в том числе в фильмах "Музыканты одного полка" (1965), "Три толстяка" (1966), "Республика ШКИД" (1966). В 1966 году Александр Мельников вышел на пенсию; уйдя из кино, работал экскурсоводом в Петропавловской крепости.