Родился 20 декабря 1940 года в городе Белосток, детство и юность провёл в Тбилиси (Грузия).В 1958 году окончил Тбилисское училище живописи и в 1961 году поступил на работу в Центральную студию документальных фильмов в Москве. На ЦСДФ увлёкся мультипликацией, на курсах повышения квалификации стал учиться делать рисованную анимацию.В 1968 году окончил факультет промышленной эстетики Московского государственного художественного университета (бывшее Высшее художественно-промышленное училище им. Строганова) по специальности художник-дизайнер.В 1970 году в качестве художника-мультипликатора пришёл на центральное телевидение, в Творческое объединение "Экран", где создавалась студия "Мульттелефильм".Первые работы в качестве режиссёра - музыкальные сказки "Соломенный бычок" (1971), "Жук - кривая горка" (1973), "Автомобиль с хвостиком" (1974), "Утренняя музыка" (1974).Известность Анатолию Резникову принесли мультфильм "Раз ковбой, два ковбой" (пародия на вестерн с участием Андрея Миронова, озвучившего всех героев) и серия фильмов о приключениях кота Леопольда по сценариям Аркадия Хайта (за создание которой авторская группа в 1985 году была удостоена Государственной премии СССР).