Юрий Кулаков после окончания художественной школы пришел работать на киностудию "Союзмультфильм" в качестве художника-прорисовщика. После службы в Советской Армии он вернулся на "Союзмультфильм", там он в 1984 году окончил двухгодичные курсы художников-аниматоров и продолжил работу на студии. Юрий Кулаков выпустил более 30 картин в сотрудничестве с такими режиссерами, как В. Пекарь, В. Попов, В. Тарасов, В. Караваев, А. Горленко, Е. Пророкова, Н. Серебряков, В. Угаров и др. С 1992 года Юрий Кулаков стал выступать в качестве режиссера-постановщика. В числе его режиссерских работ - фильмы "Алфавит", "Юлий Цезарь" (для английского проекта "Шекспириада"), "Сотворение мира и Ноев ковчег", "Беовульф" (по заказу BBC; был номинирован на кинематографическую премию EMI). Снятый для английской BBC анимационный фильм "Подна и Подни" из цикла "Сказки народов мира" был отмечен Гран-при фестиваля "Золотая рыбка" и первым призом Всероссийского фестиваля визуальных искусств в "Орленке". В 2005 году на экраны вышел полнометражный анимационный фильм "Князь Владимир", сценаристом и режиссером-постановщиком которого был Юрий Кулаков.