Родился в Тбилиси 31 июля 1938 года. Окончил режиссерский факультет Тбилисского театрального института. С 1962 работает в Театре имени Шота Руставели. С 1979 - главный режиссер театра, с 1980 - его художественный руководитель.Уже студенческие работы Стуруа - "Господин Леонардо перед лицом реакции" и "Где тонко, там и рвется" - обнаружили талант и перспективность молодого режиссера. В 1965 на сцене театра имени Шота Руставели он поставил "Сейлемский процесс" А. Миллера, эта постановка принесла ему первый настоящий успех. Владение театральной формой обнаружилось в другом спектакле - "Мачехе Саманишвили" Д. Клдиашвили, сделанном им совместно с Т. Чхеидзе. Увлеченность Стуруа игровой стихией театра проявилась в спектакле "Ханума" - остроумном, веселом представлении, в котором реалистические комические персонажи органично существовали по правилам условной игры. В 1970-е годы появляется понятие "Театр Роберта Стуруа". В "Кваркаре" П. Какабадзе режиссер вставляет сцену из "Карьеры Артуро Уи" Б. Брехта. Начинается "брехтовский" период в его творчестве, "период тотального моделирования" действительности. Образ-маска, возникшая впервые в этом спектакле, была воплощена Рамазом Чхиквадзе. С этим артистом Стуруа сделал два своих блистательных спектакля: "Ричард III" У. Шекспира (1979) и "Кавказский меловой круг" Б. Брехта (1975), которые принесли ему мировую известность.В 1980-е годы Стуруа много ставит: "Роль для начинающей актрисы" Т. Чиладзе (1980), "Синие кони на красной траве" М. Шатрова (1980), "Вариации на современную тему" Р. Стуруа, Л. Попхадзе, А. Варсимашвили (1981), "Похороны в Калифорнии" Р. Ибрагимбекова (1983) и т. д. Важным в его творческой биографии стал "Король Лир" (1987), главную роль в котором блистательно исполнил Рамаз Чхиквадзе. В этом спектакле проявилась склонность Стуруа к философской режиссуре, в которой карнавальное восприятие мира несло в себе ощущение трагического финала. В спектакле "Жизнь есть сон" Кальдерона (1992) "мир расширился, включив в себя метафизическую реальность". Затем был "Добрый человек из Сычуани" (1993). В 1994 Стуруа ставит "Евангелие от Иакова" по букварю Якова Семеновича Гогебашвили ("Грузинская азбука", 1865). В 1996 вышел спектакль по лирико-мифологической драме "Ламара" Г. Робакидзе, в 1997 - "Что ж с того, что мокрая сирень" Л. Табукашвили, пользующийся популярностью у молодого зрителя. В 1998 он ставит с молодым режиссером Д. Сакварелидзе "Женщину-Змею" К. Гоцци. В том же году в Москве Стуруа выпускает "Гамлета" в "Сатириконе" с К. Райкиным в главной роли. В 2000 году в театре имени Шота Руставели он ставит три спектакля: "Человек ли он?" И. Чавчавадзе, "Двенадцатую ночь" и "Гамлета" Шекспира.У Стуруа два постоянных соавтора: художник Георгий Алекси-Месхишвили и композитор Гия Канчели.Стуруа работал за рубежом, осуществил 16 постановок пьес Шекспира, Софокла, Мольера, Чехова, Брехта в разных театрах мира. Лауреат многих театральных премий Грузии, Государственных премий СССР и Грузии. Всего Роберт Стуруа поставил более 80 спектаклей.
